第700章踏遍众「世间」，极限伯克利

第700章踏遍众「世间」，极限伯克利 (第1/2页)

事实上，虽然都是无意义源流。
　　
　　可如今穆苍所处的「第二重世间」内的这一座源流，却是在整体强度层面上，远远超越了那「第一重世间」【终乂绝数】级……或可称莱因哈特基数级源流的更高阶源流。
　　
　　而与这一座无意义源流驻立的未知等阶异数强度所对应的大基数，则赫然是……特殊-完全莱茵哈特基数。
　　
　　若想要理解这一大基数，便要从超级莱因哈特基数讲起。
　　
　　所谓超级莱因哈特基数，顾名思义便是莱因哈特基数的超级高阶加强版本。
　　
　　所以其在本质上，亦属于一种非平凡基本嵌入的临界点，嵌入其自身。
　　
　　同时在这两种大基数中间，实际上还存在有一种名为n阶集合论公式集定义下的莱茵哈特基数。
　　
　　只不过，由于这一大基数的一致性强度远远不如超级莱茵哈特基数，所以暂且略过不提。
　　
　　总之，超级莱因哈特基数的具体定义即是：
　　
　　存在一个序数k，对于每一个序数a，若都存在一个基本嵌入j:V→V，使得j(k)＞a，并且k是j的临界点，则可称k为超级莱因哈特基数。
　　
　　同样的，若k是超级莱茵哈特基数，那么便会存在γ＜k，使得(5γ，Vγ+1)是ZF?+莱茵哈特基数存在公理的模型。
　　
　　其中的ZF?，便可理解为二阶ZF公理系统。
　　
　　是的，ZF系统赫然有一阶二阶三阶四阶，乃至更多阶数之分。
　　
　　总的来说，相对于莱茵哈特基数，超级莱茵哈特基数便是在它的基础上，增加了一个限定条件：
　　
　　即，j(k)要大到符合期望。
　　
　　若对这所谓的「期望」概念详尽展开来讲，就是对于所有的序数a，都要有j(k)＞a。
　　
　　而进一步展开继续阐述，超级莱因哈特基数的定义，便是涉及到了对于所有序数的超越性。
　　
　　即对于任意给定的序数a，都能找到一个基本嵌入，使得k被映射到一个更大的序数上。
　　
　　相比较而言，莱因哈特基数却仅要求存在一个基本嵌入j:V→V使得k是j的临界点，而不要求对所有序数a都有j(k)＞a，可超级莱因哈特基数却是与之全然相反的。
　　
　　所以后者的一致性强度，要远远……远远胜于前者。
　　
　　可如此巨大的超级莱茵哈特基数，却依然要远远远远……远远弱于伯克利基数。
　　
　　完全没有任何可比性。
　　
　　因此，就需要向那更高层次的「数学世界」去寻找一致性强度更为巨大的大基数。
　　
　　即，A-超级莱茵哈特基数。
　　
　　其具体定义便是：对于一个合适的类A，若所有的序数λ都有一个非平凡初等嵌入j：V→V，crt(j)=k，j(k)＞λ，并且j?(A)=j(A)(j?(A)：=U(a∈ord)j(AnVa)，那么这样的k，就可称为A-超级莱茵哈特基数。
　　
　　总的来说，这种大基数就等若于莱茵哈特基数的进阶加强版——超级莱茵哈特基数的进阶加强版。
　　
　　其是在更高层面上对于超级莱茵哈特基数的一种更大推广或者说延伸，因而两者之间的差距，巨大到简直无可形容。
　　
　　可即便如此，即便庞大到如斯程度，A-超级莱茵哈特基数也依旧远远……远远弱于伯克利基数。
　　
　　所以就要以它为踏脚石，纵身一跃无尽飞升，前往那更高层次去寻索更高阶更巨大的大基数。
　　
　　即，完全莱茵哈特基数。
　　
　　关于这种大基数的定义，若进行简化性的阐述便是：
　　
　　若对于每一个A∈Vk+1，都有(Vk，Vk+1)
　　
　　是ZF?+A-超级莱茵哈特基数存在公理的模型，那么这样的k，就是完全莱茵哈特基数。
　　
　　所以，完全莱茵哈特基数的强度，就可以超越伯克利基数了么？
　　
　　遗憾的是，依然不能。
　　
　　因为这两种大基数无法进行清晰比较。
　　
　　或者更进一步的说，这两者之间的一致性强度差异是不能判定的。
　　
　　根本无法知晓这两种大基数到底谁的强度会更高，只能大略认为二者在强度上可以划上一个稍显模糊的「=」号。
　　
　　那么，能够真正在一致性强度层面上彻底超越伯克利基数的大基数，又到底会是什么呢？
　　
　　答案是，特殊-完全莱茵哈特基数。
　　
　　或者也可以称其为……无界闭伯克利基数。
　　
　　没错，莱因哈特基数谱系与伯克利基数谱系这截然不同的二者，在上升到极高极高层次之后，居然会发生某种神秘的交融，继而化两为一。
　　
　　这，或许就是数学的神奇与美妙之处吧。
　　
　　至于那在强度上彻底超越并凌驾于完全莱茵哈特基数与伯克利基数之上的所谓无界闭伯克利基数，其具体的定义简而言之便是：
　　
　　如果k是正则的并且对于所有的无界闭集c?k和所有k∈m的传递集m，都有j∈e(m)并且crt(j)∈c，那么便可以称这样的k为无界闭伯克利基数。
　　
　　而当到达这一层次后，便有一个值得一问的问题。
　　
　　即，在无界闭伯克利基数之上，还会存在有更加巨大的伯克利基数谱系成员呢？
　　
　　答案是，会存在。
　　
　　通常而言，如果k既是极限伯克利基数又是无界闭伯克利基数，那么k就可以被称为极限无界闭伯克利基数。
　　
　　如果对此展开来讲，便又会是一大段极为悠长且复杂的数学理论。
　　
　　所以若再次进行简而言之的阐述，便要从伯克利基数谱系的开端讲起：
　　
　　众所周知，最小的伯克利基数不可能是超级莱因哈特基数，所以在此基础上，就有了一个令人颇感兴趣的问题：
　　
　　即，是否会存在一些伯克利基数，可以成为超级莱因哈特基数呢？
　　
　　为了回答这一问题，便可引入一个强大到甚至既可以rank-反射伯克利基数，同时又是一个超级莱茵哈特基数的伯克利基数的概念。
　　
　　具体来讲，就是倘若一个基数δ既是一个无界闭伯克利基数，又是一系列伯克利基数的一个极限，那么便可以认为δ是极限无界闭伯克利基数。
　　
　　与此相关的定理则是：
　　
　　如果δ是极限无界闭伯克利基数，那么(Vδ，Vδ+1)就是公理「有一个是超级莱茵哈特基数的伯克利基数」的模型。
　　
　　

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